Калькулятор числа сочетаний

Расчет числа сочетаний из n по k без повторений с формулами и примерами

Открывали 5 435 раз

Инструмент справился с вашей задачей?

Одно нажатие, без регистрации. По ответам мы решаем, какие инструменты дорабатывать первыми.

Уже ответили: 15 человек

Этот инструмент ещё ждёт первого комментария

Нашли приём, остался вопрос или чего-то не хватило — напишите, пригодится следующим. Без почты и пароля · публикуем после проверки, обычно за 1–2 дня

Калькулятор сочетаний C(n, k) онлайн

Онлайн-калькулятор сочетаний вычисляет число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка по формуле C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Это базовая величина комбинаторики, известная также как «биномиальный коэффициент» или «C из n по k». Используется в задачах теории вероятностей, статистики, генетики, программирования, лотерей и покера.

Калькулятор работает с большими числами через BigInt — точный результат без потери точности до n = 1000 (например, C(1000, 500) — это число из 300+ цифр). Покажет формулу, подставит ваши значения, выведет пошаговое решение для проверки. Бесплатно, без регистрации, все вычисления — в браузере.

• Точный расчёт через BigInt (без округления и потери точности)
• Поддержка n до 1000 — больше, чем у большинства школьных калькуляторов
• Пошаговое решение с подстановкой ваших чисел
• Пресеты популярных задач: лотерея 5/36, 6/49, покер, пары
• Копирование результата с формулой одним кликом
• Ссылки на смежные калькуляторы: размещения, перестановки, факториал

Сочетания vs перестановки vs размещения — в чём разница

Сочетания — порядок НЕ важен. Выбрать 3 из 10 → C(10, 3) = 120. Команда из Ани, Бори и Вики — это та же команда, что Боря, Аня и Вика. Перестановки — порядок важен, расставить 3 из 10 по местам → A(10, 3) = 720, A(n, k). Если k = n (перестановка всех элементов) — это просто факториал n!.

Простое правило выбора формулы: если в задаче важен порядок (рассадка по местам, очерёдность забегов, позиции в призовой тройке) — это размещения или перестановки. Если порядок не важен (состав команды, набор товаров в корзине, выпавшие шары в лотерее без сегмента) — это сочетания.

Где применяется формула сочетаний

Лотереи. Сколько комбинаций в лотерее «5 из 36»? C(36, 5) = 376 992. Шанс джекпота — 1/376 992. Для «6 из 49» (Спортлото): C(49, 6) = 13 983 816 — отсюда 1 шанс на 14 миллионов.

Покер. Сколько 5-карточных комбинаций в стандартной колоде 52 карты? C(52, 5) = 2 598 960. Из них всего 4 роял-флеша, 36 стрит-флешей, 624 каре. Шансы получения рассчитываются как (комбинаций нужного типа) / 2 598 960.

Биология. Сколько подмножеств размером 3 в наборе из 12 хромосом? C(12, 3) = 220 — столько способов выбрать гены для скрещивания.

Статистика. Биномиальные коэффициенты C(n, k) — основа биномиального распределения и треугольника Паскаля. (a+b)^n = Σ C(n, k) × a^(n−k) × b^k.

Программирование. Перебор подмножеств размера k из n элементов, генерация комбинаций — задачи на собеседованиях (LeetCode, CodeWars, олимпиадные).

Свойства сочетаний

Симметрия: C(n, k) = C(n, n−k). Например, C(10, 3) = C(10, 7) = 120. Это удобно: чтобы посчитать C(100, 95), достаточно посчитать C(100, 5) = 75 287 520.

Сумма всех сочетаний: C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2^n. Это число всех подмножеств множества из n элементов.

Граничные случаи: C(n, 0) = 1 (одно «пустое» сочетание), C(n, n) = 1 (одно «полное»), C(n, 1) = n. По правилу Паскаля: C(n, k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k) — это рекурсия для треугольника Паскаля.

Как посчитать сочетания вручную

Шаг 1. Запишите формулу: C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Шаг 2. Подставьте свои числа. Шаг 3. Сократите факториалы. Хитрый приём: n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1) — это умножение k чисел подряд от n вниз. Например, 26! / 21! = 22 × 23 × 24 × 25 × 26 = 7 893 600.

Затем разделите на k!. Для C(26, 5): 7 893 600 / 5! = 7 893 600 / 120 = 65 780. Так считать в несколько раз быстрее, чем разворачивать факториал полностью. Этот же метод использует калькулятор внутри, чтобы избежать переполнения.

Пример: лотерея «6 из 45»

В лотерее нужно угадать 6 чисел из 45. Какова вероятность выигрыша джекпота?

C(45, 6) = 45! / (6! × 39!)

Сократим: C(45, 6) = (40 × 41 × 42 × 43 × 44 × 45) / 6!

Числитель: 5 864 443 200

Знаменатель: 6! = 720

C(45, 6) = 5 864 443 200 / 720 = 8 145 060

Вероятность выигрыша: 1 / 8 145 060 ≈ 0,0000123%

Если покупать билет в день, в среднем выиграете джекпот через 22 315 лет. Шансы погибнуть от удара молнии (1 к 700 000) в 11 раз выше, чем шансы взять джекпот.

Знаете ли вы?

Треугольник Паскаля — таблица, где каждое число равно сумме двух чисел над ним. Строки треугольника = коэффициенты C(n, k). Его рисовал в 11 веке персидский математик Аль-Караджи, а в Европе — в 1654 году.

В покере C(52, 5) = 2 598 960 комбинаций из 5 карт. Из них всего 4 роял-флеша, 36 стрит-флешей, 624 каре. Чем сильнее комбинация, тем меньше шансов её получить.

C(n, k) = C(n, n−k) — симметрия. У человека 23 пары хромосом, и комбинаций по 2 хромосомы из 23 столько же, сколько по 21: C(23, 2) = C(23, 21) = 253.

Формулу сочетаний независимо вывели Блез Паскаль и Пьер Ферма в переписке 1654 года. Это считается началом теории вероятностей как математической дисциплины.

У 23 человек в комнате вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух — 50%. Это знаменитый «парадокс дней рождения», который доказывается через C(23, 2) = 253 пары.

C(n, k) — это центральный биномиальный коэффициент — корень разложения (a+b)^n. C(100, 50) ≈ 1,01 × 10^29, или 137 миллиардов миллиардов миллиардов.

Популярные значения сочетаний

Задача	Формула	Результат
Лотерея 5 из 36	C(36, 5)	376 992
Лотерея 6 из 45	C(45, 6)	8 145 060
Лотерея 6 из 49 (Спортлото)	C(49, 6)	13 983 816
Лотерея 7 из 49	C(49, 7)	85 900 584
Покер 5 из 52	C(52, 5)	2 598 960
Команда 5 из 20	C(20, 5)	15 504
Пары из 10 человек	C(10, 2)	45
Тройки из 6 кубиков	C(6, 3)	20
Рукопожатия 30 человек	C(30, 2)	435

Сочетания vs размещения vs перестановки

Что	Формула	Порядок важен?	Пример
Сочетания	C(n, k) = n!/(k!(n−k)!)	Нет	Состав команды 3 из 10 = 120
Размещения	A(n, k) = n!/(n−k)!	Да	Расставить 3 из 10 по местам = 720
Перестановки	P(n) = n!	Да (все элементы)	Очерёдность 5 человек = 120
Сочетания с повторениями	C(n+k−1, k)	Нет	Выбрать 3 шарика из ваз с 5 цветами = 35
Размещения с повторениями	n^k	Да	PIN-код из 4 цифр (0–9) = 10 000

Как отличить сочетания от перестановок

Задайте себе вопрос: «Если поменять элементы местами — это тот же вариант?» Да → сочетания (C). Нет → перестановки (P) или размещения (A). Пример: выбрать 3 книги из 5 → сочетания. Расставить 3 книги на полке → перестановки/размещения.

Как вычислить сочетания

Введите n и k

n — общее количество элементов, k — сколько нужно выбрать. k не больше n.

Получите результат

Точное значение через BigInt + пошаговое решение с подстановкой ваших чисел. Можно скопировать в один клик.

Примеры из жизни

🎰 Лотерея

C(45, 6) = 8 145 060. Вероятность джекпота: 1 из 8,1 млн.

🃏 Команда

Из 15 кандидатов выбрать 4: C(15, 4) = 1 365 вариантов.

🤝 Рукопожатия

20 человек пожали руки: C(20, 2) = 190 рукопожатий.

📚 Выбор книг

Из 8 книг взять 3 в отпуск: C(8, 3) = 56 вариантов.

🎲 Кости

Сколько подмножеств по 3 из 6 кубиков: C(6, 3) = 20.

🃏 Покер

Сколько 5-карточных рук из 52 карт: C(52, 5) = 2 598 960.

Частые вопросы

Чем сочетания отличаются от перестановок?

Что такое C(n, 0) и C(n, n)?

Как считать большие факториалы?

Что такое сочетания с повторениями?

Где используется треугольник Паскаля?

Что такое биномиальный коэффициент?

Можно ли применять для k > n?

Данные отправляются на сервер?

Полезная информация

Все расчёты — в браузере, данные не отправляются на сервер.

Калькулятор использует BigInt и точную математику — нет потери точности даже на 1000! (число из 2 568 цифр).

Смежные калькуляторы комбинаторики

Если порядок имеет значение или нужны другие формулы:

Источник: https://toolfox.ru/tools/combinations-calculator